[大] [中] [小] 发布人：文得学习网 发布日期：2021-08-14 共126人浏览过

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第1章 函数与极限

1.1 复习笔记

一、映射与函数

1．集合

（1）集合概念

集合（简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称元）。常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合的元素。

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA。

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

（2）表示集合的方法通常有以下两种：

①列举法，就是把集合的全体元素一一列举出来表示；

②描述法，若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的，就可表示成M＝{x|具有性质P}。

（3）常见的集合

①空集，指不包含任何元素的集合，记为φ；

②非负整数集，全体非负整数即自然数的集合，记作N，即N＝{0，1，2，…，n，…}；

③正整数集，全体正整数的集合，记作，即＝{1，2，3，…，n，…}；

④整数集，全体整数的集合，记作Z，即Z＝{…，－n，…，－2，－1，0，1，2，…，n，…}；

⑤有理数集，全体有理数的集合，记作Q，即Q＝{∈z，q∈且P与q互质}；

⑥实数集，全体实数的集合，记作R，R为排除数0的实数集，为全体正实数的集合。

（4）集合的关系

①包含关系

设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB（读作A包含于B）或BA（读作B包含A）。规定空集φ是任何集合A的子集，即φA。

若且，则称A是B的真子集，记作（读作A真包含于B）。

②等价关系

若集合A与集合B互为子集，即AB且BA，则称集合A与集合B相等，记作A＝B。

（5）集合的运算

①并、交、差

a．并集

设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集（简称并），记作，即。

b．交集

由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集（简称交），记作，即

。

c．差集

由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集（简称差），记作A＼B，即

。若集合I为全集或基本集，称I＼A为A的余集或补集，记作AC。

②集合的运算法则

设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：

③笛卡尔积

设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的笛卡尔积，记为A×B，即

。

（6）区间和邻域

①区间

a．开区间

设a和b都是实数，且a＜b，数集{x|a＜x＜b}称为开区间，记作（a，b），即（a，b）＝{x|a＜x＜b}。其中a和b称为开区间（a，b）的端点，这里，。

b．闭区间

数集称为闭区间，记作[a，b]，即。其中a和b称为闭区间[a，b]的端点，这里a∈[a，b]，b∈[a，b]。

c．半开区间

定义，，[a，b）和（a，b]都称为半开区间。前者也称为前闭后开区间，后者也称为前开后闭区间。

d．区间长度

对于有限区间（a，b），数b－a称为区间长度。对于无限区间，引进记号十∞（读作正无穷大）及－∞（读作负无穷大），其区间长度为∞。全体实数的集合R也可记作（－∞，＋∞），它也是无限区间。


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