线性代数与高等代数课后答案详解

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1．考研真题

• 江苏大学理学院《602线性代数》历年考研真题汇编
• 全国名校线性代数考研真题汇编（含部分答案）

• 北京大学数学系《高等代数》（第3版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】（上册）
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1 第1章 多项式（1） 01:04:00 播放
2 第1章 多项式（2） 01:13:26 播放
3 第1章 多项式（3） 01:14:24 播放
4 第2章 行列式（1） 01:15:39 播放
5 第2章 行列式（2） 00:53:40 播放
6 第3章 线性方程组（1） 01:16:50 播放
7 第3章 线性方程组（2） 01:12:27 播放
8 第4章 矩阵（1） 00:51:36 播放
9 第4章 矩阵（2） 01:03:48 播放
10 第5章 二次型（1） 01:14:51 播放
11 第5章 二次型（2） 01:30:08 播放
12 第6章 线性空间（1） 01:05:57 播放
13 第6章 线性空间（2） 00:55:47 播放
14 第6章 线性空间（3） 01:09:24 播放
15 第6章 线性空间（4） 00:58:02 播放
16 第6章 线性空间（5） 01:00:21 播放
17 第7章 线性变换（1） 00:59:48 播放
18 第7章 线性变换（2） 00:40:42 播放
19 第7章 线性变换（3） 00:55:07 播放
20 第7章 线性变换（4） 01:16:57 播放
21 第7章 线性变换（5） 01:01:05 播放
22 第7章 线性变换（6） 00:35:25 播放
23 第8章 λ─矩阵（1） 00:56:01 播放
24 第8章 λ─矩阵（2） 00:57:04 播放
25 第8章 λ─矩阵（3） 00:58:34 播放
26 第9章 欧式空间（1） 00:55:31 播放
27 第9章 欧式空间（2） 00:45:49 播放
28 第9章 欧式空间（3） 00:43:14 播放

第一部分 名校考研真题

第6章 线性空间

一、选择题

1．下面哪一种变换是线性变换（  ）．[西北工业大学研]

A．  B． C．

【答案】C查看答案

【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的．

2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（  ）．[西北工业大学研]

A．必相等     B．可能相等亦可能不相等 C．不相等

【答案】B查看答案

【解析】比如在中选三个向量组

(I)：0

(Ⅱ)

(Ⅲ)．

若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．

二、填空题

1．若

则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]

【答案】2；4．查看答案

【解析】在复数域上令；则是线性无关的．

则

此即证可由线性表出．

在实数域上，令

若，其中，则

此即在R上线性关．

可由线性表出，所以在实数域R上，有

三、分析计算题

1．设V是复数域上n维线性空间，V₁和V₂各为V的r₁维和r₂维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研] 

解：取的一组基，再取的一组基则

＝秩

2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求

（1）U＋W：

（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研] 

解：（1）令

可得．所以

由于为的一个极大线性无关组，因此又可得

且，故为U＋W的一组基．

（2）令

因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：

再令，则

故ζ为U∩W的一组基．

3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令

（1）证明：W关于Kⁿ的运算构成Kⁿ的一个子空间；

（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：

（3）对于非齐次线性方程组

求W的一个基．[华东师范大学研]

证明：（1）显然W≠，又

因为存在t₁，t₂使Aα＝t₁B，Aβ＝t₂B．所以

即kα＋lβ∈W，此说明W是Kⁿ的子空间．

（2）对线性方程组（A，B）X_n＋1＝0，由题设，其解空间V的维数为（n＋1）－r（A，B）＝n－r＋1．

任取α∈W，存在t∈K，使

所以是线性方程组（A，B）X_n＋1＝0的解．

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